布尔代数定律和定理

布尔代数是数字电子学中用于数字逻辑的一种数学代数形式。欧宝娱乐可靠吗代数由一个命题(通常是数学命题)的符号表示组成。同样,布尔代数中也有表达式、方程和函数。

任何逻辑设计的主要目的都是尽可能地简化逻辑,以便最终实现变得容易。为了简化逻辑,必须简化表示逻辑的布尔方程和表达式。

因此,为了简化布尔方程和表达式,提出了一些定律和定理。使用这些定律和定理,可以很容易地简化或减少任何布尔表达式或函数的逻辑复杂性。

本文论证了布尔代数中一些最常用的定律和定理。

基本定律与证明

布尔代数系统的基本规则和规律称为“布尔代数定律”。布尔代数的一些基本定律(规则)是

我结合律。

2分配律

3交换律

四、吸收法

诉法律共识

结合律

缔合加法律

声明:

加法结合律指出,对两个以上的变量进行加法运算,即对变量进行数学加法运算,不论方程中变量的分组如何,都返回相同的值。
它涉及到在组中交换变量。

使用OR运算符的结合律可以写成

+ (B + C) = (A + B) + C

证明:

如果A, B, C是三个变量,那么3个变量的分组,每个集合中有2个变量,将有3种类型,如(A + B), (B + C)和(C + A)。

根据结合律

(A + B + C) = (A + B) + C = A + B (B + C) = + (C + A)

我们知道A + AB = A(根据吸收定律)

假设x = A + (B + C) y = (A + B) + C

根据结合律,我们需要证明x = y。

现在,求出Ax = A [A + (B + C)]

= aa + a (b + c)

= A + AB + AC→因为AA = A

(a + ab) + ac

= A + AC→since A + AB = A

= A→since A + AC = A

因此Ax = A

同理,对于Bx = B [A + (B + C)]

= ab + b (b + c)

= ab + bb + BC

= AB + B + BC→since BB = B

= (b + bc) + ab

= B + AB→因为B + BC = B

= B→since B + AB = B

利用上述方程,我们可以说,当与其他变量如x相乘时,如xy = yx = x = y, A, B, C与+算子之间的关系不变。

x = ((A + B) + C) x

= (A + B) x + Cx

= (Ax + Bx) + Cx

(a + b) + c

y = (A + (B + C)) y

= Ay + (B + C) y

= Ay + (By + Cy)

= a + (b + c)

= x

x = y,也就是A + (B +C) = (A + B) +C = B + (A +C)

例子

取三个变量0,1和0

根据结合律,

(0 + 1) + 0 = 0 + (1 + 0)

1 + 0 = 0 + 1

1 = 1

由此证明了结合律。

由此证明了结合律(A + B +C) = (A + B) +C = A + (B +C) = B + (C + A)

关联乘法定律

声明:

乘法结合律指出,对两个以上的变量,即对变量进行数学乘法运算,不论方程中变量的分组如何,都返回相同的值。

与运算符的结合律可以写成

A * (b * c) = (A * b) * c

分配律

这是布尔代数中最常用和最重要的法则,涉及到两个运算符:and和OR。

语句1:

两个变量相乘并将结果与一个变量相加得到的结果与变量与单个变量相加相乘得到的结果相同。

换句话说,“and”两个变量加上“or”另一个变量的结果等于“and”两个变量加上“or”的结果。

分配律可以写成

A + BC = (A + b)(A + c)

这叫做OR分布在AND上。

证明:

如果A B C是三个变量

A + BC = A*1 + BC→A*1 = A

A (1 + B)+ BC→1 + B = 1

= a * 1 + ab + BC

A* (1 + C) + AB + BC→A* (1 + C) + AB + BC→A* (1 + C) + AB + BC

= a *(a + c) + b (a + c)

= (a + c) (a + b)

A + BC = (A + b) (A + c)

由此证明了分配律。

声明2:

两个变量相加并将结果与一个变量相乘将得到与变量与单个变量相乘相加相同的值。

换句话说,两个变量的OR和另一个变量的and ding的结果等于两个变量的and ding的或。

分配律可以写成

A (b + c) = (A b) + (A c)

这个叫做和分布在OR上。

证明:

A (B + C) = A (B*1) + A (C*1)→1 * B = B, 1 * C = C

= [(ab)*(a *1)] + [(ac)*(a *1)]

=[(ab) * a] + [(ac) * a]

= (a +1) (ab + ac)

= (AB +AC)→1 +A = 1

由此证明了分配律。

例子:

取三个变量0,1和0

根据分配定律,

0 (1 + 0) = (0*1) + (0*0)

(1) = (0) + (0)

0 = 0

从而验证了分配律。

交换律

声明:

交换律是指布尔方程中操作数顺序的互换不改变其结果。

  • 使用OR运算符→A + B = B + A
  • 使用AND运算符→A * B = B * A

这个定律在布尔代数中也有更优先的地位。

例子:

取两个变量1和0

1 + 0 = 0 + 1

1 = 1

同样的,

1 * 0 = 0 * 1

0 = 0

吸收法

吸收定律涉及一对二元运算的连接。

i. A+AB = A

2一个(A + B) =

3+ĀB = A + B

iv. A.(Ā+B) = B

第三和第四定律也被称为冗余定律。

表述一:A + AB = A

证明:

A + AB = A.1 + AB→因为A.1 = A

A(1+B) = 1

= .

=一个

表述二:A (A + B) = A

证明:

A (A + b) = A (A + b

= A+AB→since A一个=

= a (1 + b)

= .

=一个

声明3:A + Āb = A + b

证明:

A+ ĀB = (A+ Ā) (A+B)→因为A+BC = (A+B)(A+C)使用分配律

= 1 * (A + B)→A + Ā = 1

= A + B

语句4:A * (Ā+B) = AB

证明:A * (Ā + B) = A. Ā + AB

= AB→A Ā = 0

布尔代数中的对偶原理

声明:

对偶原则指出:“表达式的对偶性可以通过用or运算符替换AND运算符,以及用二进制变量替换,如用0替换1,用1替换0来实现。”
这个定律解释了,替换变量并不会改变布尔函数的值。

但是在交换变量名称的同时,我们也必须改变二元运算符。如果一个方程或函数的运算符和变量在方程的输出中没有产生变化,尽管它们互换了,这叫做“对偶”。

对偶性原理也被称为“德摩根对偶性”,即“布尔代数对偶对的交换将导致方程的相同输出”。

表格

对偶性中有一种特殊类型的运算叫做“自对偶”。自对偶操作将输入处理为输出,而不对其进行任何更改。所以这也被称为“不做操作”。

例子:

如果我们有一个布尔方程,如A + B = 0,那么用1替换变量0并用and替换OR运算符所形成的方程是A * B = 1。这意味着两个布尔函数都代表了逻辑电路的操作。

根据对偶原理,如果A, B是两个变量,那么在相同的逻辑电路中,方程A + B = 0和A * B = 1都成立。

使用二元性简化布尔函数

用对偶概念简化布尔函数的例子

(a + b ' c) = a ' b c + a ' b c ' + a ' b ' c '

= a ' b (c + c ') + (b + b ') a ' c '

= a ' b + a ' c '–––––––-> (1)

两边同时求逆,方程就变成

(a + b ' c) = (a + b ') (a + c)–––––––-> (2)

如果我们观察方程1和2,我们可以观察到and算子和OR算子是互换的。由此证明了对偶定理。

基于对偶原理,采用最大项(SOP)和平均项(POS)方法对布尔函数进行简化。

SOP方法指的是产品的总和。在这种方法中,布尔变量的最大项被写成它们乘积的和。

POS法的意思是,和的乘积。在这种方法中,布尔变量的最小项被写成它们的和的乘积。

我们将在以后的教程中简要讨论这些主题。

德摩根定理

布尔代数涉及二进制数的二进制加法、二进制减法、二进制除法和二进制乘法。与这些基本定律类似,布尔代数系统主要依赖的还有另一个重要定理。这就是德摩根定律。

这也被称为德摩根定理。这个法则的作用取决于二元性的概念。对偶性是指将函数中的运算符和变量交换,如将0替换为1,将1替换为0,将and替换为OR,将OR替换为and。

德摩根定律就像是对偶原理的延伸。德·摩根提出了两个定理,这将帮助我们解决数字电子学中的代数问题。欧宝娱乐可靠吗

德·摩根的声明是,

声明1:

"合取的否定就是否定的分离"或者我们可以定义为“两个变量的乘积的互补等于单个变量的互补之和”。

(a . b) ' = a ' + b '

声明2:

"析取的否定是否定的合取"或者我们可以这样定义:两个变量的和的互补等于每个变量的互补的乘积。

(a + b) = a。B”

真值表

德摩根定律可以简单地用真值表来解释。

德·摩根第一个命题((A.B) ' = A ' + B ')的真值表如下。

表2

因此,德摩根第一定律也可以表示为“not (A and B) is equal to (not A) or (not B)”。

德·摩根的第二个陈述((A + B) ' = A ' .B ')的真值表如下。

表3

因此,德摩根第一定律也可以表示为“not (A or B) is equal to(not A) and (not B)”。

《盖茨》中的DeMorgan定理

德摩根定理可以用与门、或门等基本逻辑门来证明。

对于语句1:(A.B) ' = A ' + B '

aNAND门(输出端带有非门的与门)的输出等于OR门输入端连接两个非门而形成的门的输出。这可以说是,

NANDgate=冒泡或门

与非与门等效于逆或门

对于语句2:(A + B) ' = A '。B”

NOR门(输出端带有非门的或门)的输出等于与门输入端连接两个非门所形成的非门的输出。这可以说是,

NOR门=冒泡和门

与“与”门之后的“反转”等价的“NOR门”

让我们看一些例子来理解如何使用德摩根定理来简化布尔方程。

示例1:

用德摩根定理简化下面的布尔方程。

F =((a . b̅)̅)。(b̅+ c)̅

索尔:

已知F = (((A . b̅)̅)。(b̅+ c)̅

= ((a .b̅)̅)̅+ ((b̅+ c))̅

= (a .b̅)+ (b .̅̅.c̅)

= (a .b̅)+ (b.c̅)

因此,所给方程的简化形式为F = (A .B̅)+ (B.C̅)

示例2

简化设计不良的逻辑电路,并为输出方程找到简化的布尔方程。

例子

索尔:

在给定的电路中,输出方程是,

F2= ((a̅+ c).((ab)̅))̅

=((a̅+ c)̅)+ (b)̅̅

= ((a̅+ c)̅)+ ab

= (a̅̅c̅)+ b

= (ac̅)+ (ab)

因此,给定电路的简化输出为f2 = (AC̅)+ (AB)。

共识定理

一致定理是布尔代数中的一个重要定理,用于求解和简化布尔函数。

声明

一致定理指出,当函数中的项是相互倒数时(如a和a̅),就定义了析取的一致项。一致定理定义在两个表述中(正规形式和对偶形式)。他们是

Ab + Āc + bc = Ab + Āc

(a + b)(Ā+ c)(b + c) = (a + b)(Ā+ c)

共识定理的证明

表述一:AB+ĀC +BC = AB+ĀC

Ab + Āc + bc = Ab + Āc + bc .1

= AB + ĀC + BC (A + Ā)→A + Ā = 1

= ab + Āc + ABC + Ābc

= ab (1 + c) + Āc (1 + b)

= AB + ĀC→1 + B = 1 + C = 1

例子

利用一致定理,证明了A ' bd ' + BCD + ABC ' + AB ' d = BC ' + AD + A ' BC

索尔:

A ' bd ' + BCD + abc ' + ab ' = A ' bd ' + BCD + abc ' + ab ' + A ' bc + bc ' + abd

= AD + a ' bd ' + BCD + abc ' + a ' bc + bc ' '

= AD + a ' bc + bc '

一致定理的对偶

一致定理对偶的表述是

(A + B) (B + C) (' + C) = (A + B) (A + C)

证明

第一步:化简等式左边

(A + B) (B + C) (' + C) = ((A + B) (B + C)) (' + C)

=(ab + ac + bb + bc)(a ' + c)

= (ab + ac + b + bc) (a ' + c)

=(ab + ac + (b + bc)) (a ' + c)

= (ab + ac + b) (a ' + c)

= (b + ab + ac) (a ' + c)

= ((b + ab) + ac) (a ' + c)

= (b + c) (a ' + c)

= a 'b + BC + aa 'c + acc

= a 'b + BC + 0 + ac

= a 'b + BC + ac

第二步:化简等式的右边

(a + b) (a ' + c) = aa ' + a ' b + ac + BC

=0 + a 'b + ac + BC

= a 'b + ac + BC

现在我们可以看到,R.H.S. = L.H.S.

由此证明了一致定理的对偶性。

香农定理的扩张

著名的理论家和数学家克劳德·香农在对布尔代数函数的简化进行研究后,提出了一些公式。这就是香农展开定理。它们用于扩展关于单个变量的布尔函数。欧宝官网app苹果下载

定理1:

f (A1,A2, A3, . . . .Ai, . . . .An) = Ai。f (A1, A2, A3, . . . .1、…A)+ A̅i。(a1 a2 a3 . . . .0,…一个)

例子:

f (A, B, C, D, E, f) = C。f(A, B, 1, D, E, f) + C̅。f (A, B, 0, D, E, f)

定理2:

f (A1, A2, A3, . . . .Ai, . . . .An) = [Ai + f (A1, A2, A3, . . . . . . .一个)。[A̅i + (A1, A2, A3, . . . .1、…一个)

例子:

f (A, B, C, D, E, f) = (C + f (0 A、B、D、E、f)]。[C̅+ f (A, B, D, E, f))

用香农展开定理简化布尔函数

练习1:

用香农展开定理展开给定的布尔函数。

f (A, B, C, D) = A B̅+ (A C + B) D

索尔:给定函数是

f (A, B, C, D) =A B̅+ (A C + B) D

=[1。1 .选B。a . C . b . d . C . C . d . C . d . d .B̅+(0。答案:d

= a [b̅+ (c + b) d] + a̅[b d]

= a b̅+ a (c + b) d + a̅b d

练习2:

用香农展开定理展开给定的布尔函数。

f (A, B, C, D) = A̅C+ (B + AD) C

索尔:

给定的函数

f (A, B, C, D) = A̅C+ (B + AD) C

= a[1̅.]C + (b + 1)答案:D。C + (b + 0)D) C)

= 0。(2) C + (b + d) C + (a)C + (b + 0)D) C)

= a (b + d) c + a̅(c + bc)

香农的减少定理

香农约简定理用于约简一个单变量布尔函数。欧宝官网app苹果下载

定理1:

人工智能。f(A1, A2, A3, . . . .Ai, . . . ., An) = Ai。f(A1, A2, A3, . . . .1、. . . .一个)

Ai+ f(A1 A2 A3 . . . .Ai, . . . .= Ai+ f(A1, A2, A3, . . . .0, . . . .一个)

例子:

B。f (A, B, C, D, E, f) = B。f (A, 1, C, D, E, f)

B + f (A, B, C, D, E, f) = B + f (0 C, D, E, f)

定理2:

(A_i)̅。f(A1, A2, A3, . . . .Ai, . . . ., An) = (A_i)̅。f(A1, A2, A3, . . . .0, . . . .一个)

(A_i)̅+ f(A1, A2, A3, . . . .Ai, . . . .= (A_i)̅+ f(A1, A2, A3, . . . .1、. . . .一个)

例子:

B̅。f (A, B, C, D, E, f) = B̅。f (A, 0, C, D, E, f)

̅B + f (A, B, C, D, E, f) = B̅+ f (1 C, D, E, f)

用香农约简定理简化布尔函数

练习1:

用香农约简定理展开给定的布尔函数。

f (A, B, C, D) = A [A̅(B + C) + (A + D)]

索尔:给定函数是

f (A, B, C, D) = A [A̅(B + C) + (A + D)]

=一个。[1 ' (b + c) + (1 + d)]

=一个。[0 (b + c) + (1 + d)]

=广告

练习2:

用香农约简定理展开给定的布尔函数。

f (A, B, C, D) = A + A ' B + A C ' (B + C) (B + D)

索尔:给定函数是

f (A, B, C, D) = A + A ' B + A C ' (B + C) (B + D)

a + 0 ' b + 0 ' (b + c) (b + d)

= a + 1。B

= a + b

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