布尔逻辑- SOP形式,POS形式

布尔函数表示

开关器件如晶体管的使用产生了布尔代数的一个特殊情况,称为开关代数。在交换代数中,所有的变量都假定两个值中的一个为0和1。

在布尔代数中,0表示逻辑门的“开”或“假”状态。同理,1表示逻辑门的“关闭”状态或“真”状态。

布尔表达式是由变量、常量(0-false和1-true)和逻辑运算符组成的表达式。

布尔函数是布尔表达式的代数形式。n变量布尔函数用f(x1, x2, x3....xn)表示。利用布尔定律和定理,可以简化数字电路的布尔函数。下面是表示布尔函数的不同方法的简要说明。

  • Sum-of-Products (SOP)的形式
  • Product-of-sums (POS)的形式
  • 规范的形式

有两种规范形式:

  • 最小和术语或标准SOP
  • 最大项的乘积或标准POS

布尔函数可以用与非门表示,也可以用K-map(卡诺映射)方法表示。我们可以通过使用两种标准形式来标准化布尔表达式。

SOP格式-产品和格式

POS形式 - SUMS表格的产品

布尔方程的标准化将使其实现、演化和简化更加容易和系统化。

产品总和(SOP)形式

积和(sum-of-products, SOP)形式是一种简化逻辑门布尔表达式的方法(或形式)。在这种布尔函数表示的SOP形式中,变量由AND (product)操作,形成一个product项,所有这些product项都是or(求和或相加),从而得到最终的函数。

通过使用布尔加法操作将两个或多个乘积项相加(或相加),可以形成积和形式。这里的乘积项是用AND运算定义的,和项是用OR运算定义的。

乘积和形式也称为析取范式,因为乘积项是“或”在一起的,析取操作是逻辑的“或”。产品和形式也称为标准SOP。

SOP形式最适合在FPGA (Field Programmable Gate Arrays,现场可编程门阵列)中使用。

例子

Ab + ABC + cde

(ab)̅+ ABC + CD e̅

可以通过SOP形式获得

  • 为每个输入组合写一个AND项,这将产生高输出。
  • 如果值为1,则写出输入变量;如果值为0,则写出变量的补码。
  • 或AND项来获得输出函数。

例:多数函数F = A ' bc + AB ' c + ABC ' + ABC的布尔表达式

真理表:

真值表

现在写出输入变量与高输出的组合。F = ab + BC + ac。

检查

根据幂等律,我们知道

([abc + abc]] + abc) = (abc + abc) = abc

现在函数F = A ' bc + AB ' c + ABC ' + ABC

= a ' bc + ab ' c + abc ' + ([abc + abc]] + abc)

= (abc + abc ') + (abc + ab ' c) + (abc + a ' bc)

= ab (c + c ') + a (b + b ') c + (a + a ') BC

= ab + BC + ac。

求和(POS)形式

和积式是简化逻辑门布尔表达式的一种方法(或形式)。在这种POS形式中,所有的变量都是或,即写成求和项。

所有这些总和术语都是(乘以)一起获得总和的形式。该形式与SOP形式完全相反。因此,这也可以被称为“SOP形式的双重形式”。

这里求和项是用OR运算定义的,而乘积项是用and运算定义的。当两个或两个以上的和项乘以一个布尔or运算时,结果输出表达式的形式为和的乘积形式或POS形式。

除了总和术语和结合术语和结合操作是合乎逻辑的,也称为总和形式的形式也称为联合正常形式。总和的形式也称为标准POS。

例子

(a + b) * (a + b + c) * (c + d)

(a + b)̅* (c + d + e̅)

POS表格可以通过

  • 为每个输入组合写一个OR项,产生低输出。
  • 如果值为0,则写出输入变量;如果值为1,则写出变量的补码。
  • 和OR项得到输出函数。

函数F = (A + B + C) (A + B + C ') (A + B ' + C) (A ' + B + C) (A ' + B + C)

前女友

现在写出输入变量与高输出的组合。F = ab + BC + ac。

检查

根据幂等律,我们知道

[(A + B + C) (A + B + C)] (A + B + C) = ((A + B + C)) (A + B + C) = (A + B + C)

现在的函数

F = (a + b) (b + c) (a + c)

= (A + B + C) (A + B + C”)(A + B + C) (A + B + C)

= [(A + B + C) (A + B + C)] (A + B + C) (A + B + C”)(A + B + C) (A + B + C)

= [(A + B + C) (A + B + C”)][(A + B + C) (A + B + C)) ((A + B + C) (A + B + C)]

= [(A + B) + (C * C ')) ((B + C) + (*)) ((A + C) + (B * B”)

= [(A + B) + 0] [(B + C) + 0] [(A + C) + 0) = (A + B) (B + C) (A + C)

标准表格(标准SOP和POS表格)

任何表示为minterms的和或max terms的乘积的布尔函数都被称为“规范形式”。

它主要涉及两个布尔术语,“minterms”和“maxterms”。

当布尔表达式的SOP形式为规范形式时,则其每个product term称为“minterm”。因此,积和函数的规范形式也称为“minterm规范形式”或minterm和或标准规范SOP形式。

类似地,当一个布尔表达式的POS形式是标准形式时,它的每一个求和项都称为“maxterm”。因此,和函数积的标准形式也称为“最大项标准形式或和积或标准标准POS形式”。

最小条件

Minterm被定义为N个变量的产物项,其中N变量中的每一个都将以其补充或不合格的形式出现。最小术语表示为Mi,其中I在0≤i<2ⁿ的范围内。

如果变量的值赋值为0,则该变量为互补形式;如果变量的值赋值为1,则该变量为非互补形式。

对于一个2变量(x和y)布尔函数,可能的minterms是:

X y X y xy和xy。

对于一个3变量(x, y和z)布尔函数,可能的minterms是:

x x没有'z’,没有'z x 'yz’,x 'yz, xy 'z、xy 'z xyz, xyz。

  • 1 - Minterms =函数F = 1的Minterms。
  • 0 - Minterms =函数F = 0的Minterms。

任何布尔函数都可以表示为其1分钟项的和(OR)。方程的表示形式是

  • F(变量列表)= Σ(1分钟指标列表)

例如:F (x, y, z) = Σ (3,5,6,7)

函数的反函数可以表示为其0- min项的和(OR)。方程的表示形式是

  • F(变量列表)= Σ(0分钟指标列表)

例如:F ' (x, y, z) = Σ (0,1,2,4)

乘积和表达式的规范形式示例(最小项规范形式):

i) Z = XY + XZ '

ii) F = XYZ ' + X ' yz + X ' yz ' + XY ' z + XYZ

在标准的SOP形式中,n个变量的最大可能乘积项由2ⁿ给出。对于两个变量方程,乘积项是22 = 4。同样,对于3个变量方程,乘积项为23 = 8。

马克斯条款

最大术语被定义为n变量的乘积,在0≤i<2¾的范围内。最大术语表示为mi.在最大术语中,如果将其值分配给1,则会赞美每个变量,如果将其值分配为0,则每个变量是不协调的。

对于一个2变量(x和y)布尔函数,可能的最大项是:

X + y, X + y ', X ' + y '和X ' + y '

对于一个3变量(x, y和z)布尔函数,可能的maxterms是:

x + y + z、x + y + z, x + y + z、x + y + z, x的+ y + z、x + y + z’,x + y + z和x + y + z。

  • 1 -最大项等于函数F = 1的最大项。
  • 0 -最大项等于函数F = 0的最大项。

任何布尔函数都可以表示其0 - 最大术语的产品(和)。方程的表示形式是

  • F(变量列表)= Π (0-max项索引列表)

例如:F (x, y, z) = Π (0, 1, 2, 4)

这个函数的逆可以表示为它的1 - max项的乘积(AND)。方程的表示形式是

  • F(变量列表)= Π (1-max项索引列表)

例如:F ' (x, y, z) = Π (3, 5, 6, 7)

和表达式乘积的标准形式(最大项标准形式)示例:

i. Z = (X + Y) (X + Y ')

2F = (x ' + y ' + z ') (x ' + y ' + z ')

在标准POS形式中,n个变量的最大可能和项由2ⁿ给出。对于两个变量方程,求和项是22 = 4。同样,对于3个变量方程,求和项为23 = 8。

2n最小项和2n最大项的表

下表将让你理解三个变量的均值项和最大值项的表示。欧宝官网app苹果下载

表2n最小值条款和amx条款

规范形式的转换

我们可以将一个规范形式方程表示为另一个规范形式,即将方程的SOP形式表示为POS形式,将POS形式方程表示为SOP形式。为了转换正则方程,我们在列出方程的索引号后,交换Σ和Π符号,而原始方程形式中没有索引号。

要记住布尔函数的重要事项是,SOP和POS表单是双重的。欧宝官网app苹果下载转换方程的规范形式有2个步骤。他们是

第一步:交换等式中的运算符号Σ和Π。

第二步:将德摩根对偶原理应用于布尔函数的索引数,或写出未以给定方程形式表示的项的索引。

将SOP表格转换为POS表格

要将SOP形式转化为POS形式,首先要将Σ改为Π,然后写出给定布尔函数中缺失变量的数值索引。

例子:

SOP函数

f =Σa,b,c(0,2,3,5,7)='b'c'+ a b'c'+ a b'c + abc'+ abc被pos形式写入pos形式

步骤1:将操作符号改为Π

第二步:写出术语001,100和110所缺少的索引。现在写出这些有名项的和式。

001 = 100 = (A + B + C) (A + B + C) 110 = (A + B + C)

把新方程写成POS形式,

F =ΠA, B, C (1, 4, 6) = (A + B + C) * (A + B + C) * (A + B + C)

将POS表单转换为SOP形式

要将POS形式转换为SOP形式,首先要将Π改为Σ,然后写出给定布尔函数中缺失变量的数值索引。

例如:POS函数F = Π A, B, C (2,3,5) = AB ' C ' + AB ' C + ABC '用SOP形式写成

步骤1:将操作符号改为Σ

步骤2:写出词条,000,001,100,110,111的缺失索引。现在写出这些有名项的乘积形式。

000 = a ' b ' * c ' 001 = a ' b ' * c 100 = a ' b ' * c '

110 = a * b * c'111 = a * b * c

把新方程写成SOP形式,

F =ΣA, B, C(0、1、4、6、7)= (A * B的* C ') + (A * B的* C) + (A * B * C) + (A * B * C”)+ (A * B * C)

将SOP格式转换为标准SOP格式或标准SOP格式

我们可以把所有的变量都包含在SOP形式方程的每一个乘积项中,通过转换成标准的SOP形式,它并不包含所有的变量。使用布尔代数法则(A + A ' = 1),并按照以下步骤将标准SOP形式函数转换为标准SOP形式。

步骤1:

通过将每个非标准乘积项与其缺失变量和补变量的和相乘,得到两个乘积项

步骤2:

通过重复步骤1,直到所有产生的产品术语包含所有变量

通过这两个步骤,我们可以将SOP功能转换为标准SOP功能。在这个过程中,对于函数中每个缺失的变量,乘积项的数量将翻倍。

例子:

转换非标准SOP函数F = x y + x z + y z

索尔:

F = x y + x z + y z

= x y (z + z ') + x (y + y ') z + (x + x ') y z

= x y z + x y z'+ x y z + x y'z + x y z + x'y z

= x y z + x y z ' + x y ' z + x y ' z

标准的SOP形式是F = x y z + x y z ' + x y ' z + x ' y z

POS形式向标准POS形式或规范POS形式的转换

我们可以在POS形式方程的每个产品项中包含所有变量,通过转换为标准POS形式没有所有变量。可以通过使用布尔代数法(A * a'= 0)并通过以下步骤将正常的POS形式函数转换为标准POS形式。

步骤1:

通过将每一个非标准和项加到其缺失变量和补项的乘积上,得到两个和项

步骤2:

应用布尔代数定律,A + BC = (A + B) * (A + C)

步骤3:

通过重复步骤1,直到所有得到的和项包含所有变量

通过这三个步骤,我们可以将POS函数转换为标准POS函数。

例子:

F = (A + B + C) * (B + C + D) * (A + B + D ' + C”)

在第一项中,变量D或D '缺失了,所以我们给它加上D*D ' = 1。然后

(a'+ b + c + d * d')=(a'+ b + c + d)*(a'+ b + c + d')

类似地,在第二项中,变量A或A '缺失了,所以我们给它加上A*A ' = 1。然后

(B + C + D + *”)= (A + B + C + D) * (' + B + C + D ')

第三项已经是标准形式了,因为它包含了所有的变量。这个函数的标准POS形式方程是

F = (A + B + C + D) * (A + B + C + D) * (A + B + C + D) * (' + B + C + D ') * (A + B + D ' + C”)

14的反应

    1. SOP和POS的区别在于,SOP是一种使用最小项或乘积项表示布尔表达式的方法,而POS是一种使用最大项或总和项表示布尔表达式的方法。

  1. 在SOP中,我们以(1)为非补码,(0)为补码,完整的SOP是PRODUCT的和,用(m) minterm (A ' .B.C ')表示。

    在pos中,我们取(0)为非补,(1)为补
    Pos是sum (m)的乘积maxterm (a ' + b ' + c)

  2. 取sop形式的补码或条,应用布尔逻辑和德摩根定理。

    (ab + bc)'= [(ab)'*(bc)']
    = [(a ' + b ') * (b ' + c ')]
    (SOP) = pos
    类似SOP = (pos) '
    它也可以通过真理表证明。
    A b ab (A ' + b ') '
    0 0 0 0
    0 1 0 0
    1 0 0 0
    1 1 1 1

  3. 它的错误
    例子:
    SOP函数

    f =Σa,b,c(0,2,3,5,7)='b'c'+ a b'c'+ a b'c + abc'+ abc被pos形式写入pos形式

    步骤1:将操作符号改为Π

    第二步:写出术语001,100和110所缺少的索引。现在写出这些有名项的和式。

    001 = 100 = (A + B + C) (A + B + C) 110 = (A + B + C)

    把新方程写成POS形式,

    F =ΠA, B, C (1, 4, 6) = (A + B + C) * (A + B + C) * (A + B + C)

  4. SOP函数

    F =∑A, B, C (0,2,3,5,7) = A ' B ' C ' + A ' BC ' + A ' BC + AB ' C + ABC是由gautam rai更正的POS形式

    步骤1:将操作符号改为Π

    第二步:写出术语001,100和110所缺少的索引。现在写出这些有名项的和式。

    001 = 100 = (A + B + C) (A + B + C) 110 = (A + B + C)

    把新方程写成POS形式,

    f =πa,b,c(1,4,6)=(a + b + c')*(a'+ b'+ c)*(a'+ b'+ c)*(a'+ b + c)由gautam校正

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