复数

在数学上,复数是实数和虚数的组合。在复数平面上用复数表示相量。

这个复数表示给出了正弦波的幅度和相位,我们可以用它来分析电路的特性。正弦波形是时间的函数,在时域中表示。

通常用相量变换法求解与波形有关的方程,将时间t的函数转换为弧度频率w的函数。

频域方程是代数方程,与时域方程是偏微分方程相比,频域方程更容易求解。

因此,复数表示便于易于解决未知相量的代数方程。让我们讨论复杂的数字及其操纵技术。

复数

虚数是负实数的平方根。虚数由虚数单位或j算子组成,j算子是√-1的符号。用于化简虚数的j算子。√- 4可以简化为√-1 ×√4 = j√4 = j2。

对复数的处理要比实数复杂得多,这就是为什么它们被称为复数。复数由实部和虚部两部分组成,实部和虚部之间用正号或负号连接,如下图所示。

例子:

复数形式

复数的虚部叫做“虚数”。我们用英文字母“i”(小写)或“j”表示,我们将其发音为“i- operator”。在虚数前加一个i算子表示虚数部分。例如:i3, i432, i6等等。

复数用二维笛卡尔平面表示。这也被称为“S平面”。这些轴被称为“水平轴”和“垂直轴”。纵轴又称“实轴”,用y表示。它表示正弦波的幅度或电压范围。

同样,水平轴称为“虚轴”。用x表示,表示正弦波的时间周期和相位差。用图示法将复数的实轴和虚轴分别表示为Re(Z)和Im(Z),其中Z为矩形复数,Z = a + ib。

这里复数的实部也称为“活动部”,虚部称为“反应部”。

复杂数学的数学运作规则

  • 对于虚数的加法和减法运算,我们使用实数的一般数学规则,即对两个虚数进行加法或减法,我们得到另一个虚数。例如:i9 + i5 = i14。
  • 对于乘法:虚数的乘法遵循不同的规则。也就是说,如果任意两个虚数相乘,就得到一个实数。例如:i2 * i3 = 6。

注意:我们也可以把实数写成复数,让虚部系数为“0”。

例如:6可以用复杂的数字写入6 + I0。

i的向量旋转-算子

一般来说,电压和电流及其相位关系用电矢量表示,矢量的长度表示所涉及的量的大小,而相对于参考轴的方向表示电压和电流的正最大值之间的时间间隔。

为了指定这些向量的x和y分量,使用i算子来区分x轴和y轴投影。

这是因为Y轴投影是+900从x轴投影。这个i操作符旋转矢量而不改变其大小。因此,将+i算子应用为向量的乘法因子时,得到900逆时针旋转和-i运算产生900任意向量的顺时针旋转,将其作为乘因子。

矢量旋转

将+i运算符与向量连续相乘将得到连续的900在不影响矢量大小的情况下,矢量逆时针旋转的步骤。

类似地,-i运算符与向量的连续乘法将得到连续的900如下所述的顺时针方向旋转向量的步骤。

I1 =√-1 = +i»旋转向量900(逆时针)

I2 = I * I =(√-1)2 = -1»旋转向量1800(逆时针)

3 = -i»旋转向量2700(逆时针)

i4 = i3 * i =(√-1)4 = +1»旋转向量3600(逆时针)

同理,顺时针旋转表示为

-i1 = -√-1 = -i»旋转向量-900(顺时针)

-i2 = -1»旋转向量-1800(顺时针)

- (i)3 =√-1»旋转矢量-2700(顺时针)

- (i) 4 = 1»旋转向量-3600(顺时针)

复杂数字表示

大多数情况下,复数有两种表示方法

  1. 直角形或直角形
  2. 利用S -平面

使用矩形形式的复数

如前所述,复数用矩形形式表示为Z = a + ib。

其中,z是复数

A是向量的实部

B是矢量的虚构部分

I是虚部系数。它的值是√-1。

例如:如果Z = 2 + i3,那么2代表实部,3代表虚部。

使用复杂或S平面的复数

在S平面表示法中,将复数表示为笛卡尔平面或S平面上的点。例如,考虑Z = 2 + 4i,其中2是实部,4是虚部。用S平面表示如下图所示。

S平面上的复数

在这里,复数(2)的实部由一条直线表示,从正横轴上的原点向外绘制2个单位。虚部(4i)由一条从正垂直轴上的原点延伸4个单位的直线表示。

因此,始终假设虚拟值沿y轴或垂直轴绘制,并且沿X轴或水平轴绘制的实值。

四个象限argand图

如果一个实数乘以-1,就会导致点从原点的一边移动到另一边。假设+2乘以-1或j2,新位置相当于旋转180度0从旧位置。

这个用j乘以矢量旋转的概念是在交流电路中使用复数的基础。这个概念引出了一个叫做阿根图的图,它代表复数。

在阿根图中,复数的实部在X轴上表示为Re (z),复数的虚部在Y轴上表示为Im (z),在笛卡尔平面中,复数定义为(a, b)。

在阿根图中,横轴表示垂直虚数轴右侧的所有正数和垂直虚数轴左侧的所有负数。正虚数表示在原点上方,负虚数表示在原点下方,在垂直轴上。

同样,在水平轴上,所有正实数都表示在原点的右侧,所有负实数表示在原点的左侧。这样就形成了一个有4个坐标的复平面。

阿根图用于表示相量旋转,其中矢量的长度等于复数的大小。每2π/ω秒完成一个完整的循环。

00=±36001 = 1∠00= 1 + i0

+ 900= +√-1 = + i =1¼+ 900= 0 + I1

- 900√-1 = - I = 1∠-900= 0 - i1

±18001 =(√-1)2 = -1 = 1∠±180°0= - 1 + I0

具有零真实部件的复数被称为“纯虚数”。例如:z = 0 + I2。

虚数部为零的复数称为“纯实数”。例:Z = 2 + i0。

角度和象限

00到90年0→第一象限(I)。

90.0到180年0→第二象限(II)。

1800到270.0→第三象限(III)。

2700到360.0→第四象限(IV)。

我们可以通过使用找到复数的相关相位角

Tan-1(虚分量÷实分量)

下面给出了所有四个象限中复数的阿根图。

象限
根图示意图
信息
公式
1 A是积极的
B是积极的
参数是积极的
Ø=晒黑-1(b / a)
2 a是消极的
B是积极的
参数是积极的
Ø=π+棕褐色-1(b / a)
3. a是消极的
B是消极的
论点是负的
Ø=-π+棕褐色-1(b / a)
4 A是积极的
B是积极的
论点是负的
Ø=晒黑-1(b / a)

《复数加减法》

如果需要对复数进行加法、减法等数学运算,首先要把复数分解成实部和虚部。

为了添加两个复数,添加真实部件并添加虚部。

如果第一个复数是p = a + ib,第二个复数号是q = x + iy,则给出两个复数的总和

P + Q = (a + x) + i (b + y)

p + q =(a - x)+ i(b - y)

同样地,要减去两个复数,就要减去实部,再减去虚部。
两个复数之差为

p + q =(a - x)+ i(b - y)

例子

找到给定的两个复数号的总和和差异。a = 2 + i4和b = 4 + i3。

添加

P + Q = (2 + i4) + (4 + i3)

=(2 + 4)+ i(4 + 3)

= 6 + i7

减法

P + Q = (2 + i4) - (4 + i3)

=(2 - 4)+ i(4 - 3)

= -2 + i1

图形添加和减法

复数相加的方法与用向量的平行四边形将两个向量相加的方法相同。下图用图解法说明了3 + 4i和-4 + 2i复数的加法方法。

两个复数的图形加法

用图形法将(-2 + 2i)减去(3 + 4i)如下图所示。

两个复数的相减

复数的乘法和除法

复数乘以二项式乘法并记住j2 = -1的方式相同的方式。
考虑两个复数(a+bi)和(c+di),其乘法式为

(a+bi) x (c+di) = a (c+di) +bi (c+di)

= AC + ADI + BCI + BD I2

= AC + ADI + BCI + BD(-1)

= ac + adi + bci - bd

=(ac-bd)+(广告i + bc i)

= (ac -bd) + (ad + bc) I

假设两个复数为(2 + 3i)和(4 + 5i),则其乘法为

(2 + 3i) x (4 + 5i) = 2(4 + 5i) + 3i (4 + 5i)

= 8 + 10i + 12i + 15i2

= 8 + 22i + 15(-1)

= 8 + 22i -15

= -7 + 22 i

部门

复数的除法与二项式的除法相同,二项式的分母中含有根号。它涉及到求分母的共轭。

让我们看一个复数除法的例子。

例子

(4 + 2i) ÷ (3 - i)

((4 + 2I))/((3 - I))=((4 + 2i))/((3 - I))×((3+ i))/((3+ i))

=(12 + 4我+ 6 + 22) / (9 + 3 i-3i-i2

= (12 + 10 + 2 (1)) / (9 - (1))

= (10 + 10) / 10

= (1 + 1) / 1

= 1 + i

因此(4 + 2i) ÷ (3 - i) = 1 + i。

复杂共轭

复数的共轭复数是相同的数,只是虚部的符号改变了。把虚数的符号反过来得到的复数。

找到共轭时,实体部分的标志变得不变。共轭复数号由符号Z *表示。

例如,Z = 4 + i5的共轭复数是Z * = 4 - i5

复数和它的共轭有相同的大小它们在X轴上有相同的水平位置,但在阿根图上它们的垂直位置完全相反。

共轭复数表示法

要记住的事情欧宝官网app苹果下载

  • 复数及其共轭的和总是实数(有源分量)。
    (4 + i5) + (4 - i5) = 8(实数)
  • 复数和其缀合物的减法始终是假想数(反应性分量)。
    (4 + i5) - (4 - I5)= 10i(虚数数)
  • 通常用复共轭数来求矩形交流电路的视在功率。

使用极性形式的复数

复数可以用极坐标和直角坐标表示。如前所述,复数的矩形形式由实部和虚部组成。在极坐标形式下,复数用大小和角度表示,即Z

一个∠±θ。这里A是矢量的大小,θ是相角。它可能是积极的,也可能是消极的。
北极表格表示复数

用三角函数的基本概念和毕达哥拉斯定理来表示复数的极坐标形式,求出大小和由轴构成的角度。

极坐标形式表示

笛卡尔平面中复杂数x + IY的极性形式表示在上图中示出。这里R是由复数的三角形的所得到的矢量或对角线。

通过应用毕达哥拉斯定理,我们得到

Z2= x2 + y2

Z =√(x2 + y2)

向量分量可以写成x = zcos θ和y = zsin θ。

用真实轴制造的角度给出

θ= tan.-1y⁄x

极坐标表示复数的长度和角度。复数和它的共轭有相同的模,并且它们有相反的角。

例:复数5∠600它的共轭数是5∠-600具有相同的大小。

复数的转换

在分析电子电路时,需要将复数从一种形式转换为另一种形式。以矩形形式,我们分别代表实际轴(水平轴)和虚轴(垂直轴)上复数的实数和虚部。

但是在极性形式中,复数表示为∠θ。现在让我们了解极地形式和矩ob直播app形形式的关系欧宝官网app苹果下载和转换,反之亦然。

极坐标到直角坐标的转换(P→R)

极坐标到直角坐标的转换涉及到求三角的水平分量和垂直分量,以得到x + iy(直角坐标)的实部和虚部。

考虑以下示例以转换复数4∠30的极性形式0变成矩形。
向量分量等于复数x + iy的实部和虚部。因此,

x = cosθ和y =sinθ

让4∠300= X + IY

4∠300=(4cosθ)+ i(4sinθ)

=(4 cos 300)+我(4 SIN 300

=(4 x 0.866)+ i(4 x 0.5)

= 3.464 + i2

因此,极性形式的复数4∠300等于Z = 3.464 + i2。

矩形形式转化为极性形式,(R→P)

直角到极坐标的转换涉及到直角三角形的毕达哥拉斯定理,直角三角形由复数x + iy与水平和垂直轴组成,在坐标平面上。

考虑该示例以将矩形形式的复数3.464 + I2转换为极性形式的等效数字。

设(3.464 + i2) = A∠θ

这里A =√(3.462+22) = 3.99(约4)

和θ= tan(1)2⁄3.46 = 300

因此,矩形复数Z = 3.464 + i2 = 4∠300在极坐标形式。

极坐标形式的乘法

复数的加法和减法最简单的是矩形形式,而复数的乘法和除法最简单的是极坐标形式。

要计算极性复数的乘法,首先要把它们的大小相乘,然后加上它们的角度。

如Z1 = A1∠θ1, Z2 = A2∠θ2,则Z1和Z2是两个(极性)复数。那么这两个数的乘法就是

∠Z1 x Z2 = (A1 x A2)∠θ1 +∠θ2

例:假设两个复数2∠600和5∠450,则其乘法式为

z1 = 2∠600Z2 = 5∠450

z1 x z2 =(a1 x a2)∠θ1+∠θ2

=(2 x 5)∠600+ 450

= 105∠0

极坐标形式划分

要进行极坐标的除法运算,首先将两个极坐标的大小相除,然后相减角度。

(z1)/ z2 = (a1 / a2)∠θ1 -∠θ2

假设两个复数是2∠600和4∠300那么它的除法是

z1 = 2∠600Z2 = 4∠300

(z1)/ z2 = (a1 / a2)∠θ1 -∠θ2

=(2 /4)∠600——∠300

= 0.5∠300

使用指数形式的复数

除了矩形形式(A + IB)或极性形式(A±±θ)表示复数,还有另一种方式来表示是指数形式的复数。

这类似于极性形式表示,涉及通过其幅度和相位角表示复数,但是具有指数函数e的基础,其中e = 2.718 281.复杂数的指数形式使用欧拉公式,例如=COSθ+ JSINθ。

复数的指数形式的一般表示是

z = a e0

其中θ是弧度

该方法表示作为笛卡尔平面中的旋转点的复数。这种指数形式使用复杂数x + IY的三角函数或矢量分量(正弦和余弦)。根据Euler身份的笛卡尔平面中的旋转相位图如下所示。

欧拉恒等式的相量图

我们可以代表欧拉方法的任何复杂数字。Euler的身份允许我们将复数从指数形式转换为极性形式和矩形形式。

下面给出了极坐标、矩形坐标和指数坐标之间的关系。

Z = x + iy= A∠θ= A (cos θ+isinθ)

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